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philosophie artikel (Interpretation und charakterisierung)

Die mathematische denkwiese





Die mathematische Denk- und somit Vorgehensweise könnte man vielleicht so umschreiben: Man formuliert ein Problem, man versucht im Problem dargelegte Daten mit Bekanntem(oder als bekannt Vorausgesetztem) zu verknüpfen und diese bekannten Fakten in Aussagen für solche Schritte verwertbar zu machen, die einer Lösung des Problems näherkommen. Man denke nur an den Beweis durch vollständige Induktion - "die mathematische Schlussweise in ihrer reinsten Form", "ein Werkzeug, welches uns erlaubt, vom Endlichen zum Unendlichen fortzuschreiten" (Poincaré 1904,10/12) - ,mit der wiederholten Anwendung des Schlusses von der Gültigkeit der Wenn-dann-Aussage A → B, somit der Gültigkeit der darin auftretenden Aussage A auf die Gültigkeit von B. Das Vorgehen nach Regeln steht keineswegs in Konflikt mit Einfallsreichtum, sondern eröffnet diesem bei der "Erfindung" effektiver Anwendungen gegebener Regeln gerade ein neues Betätigungsfeld. Weiters gehört es zum Sinn solcher Ergebnisse, für weitere mathematische Schlüsse verwendet zu werden. "Mathematik ist die Wissenschaft notwendige Schlüsse zu ziehen." (C.S.Peirce) ,und somit ein deduktives System: ein deduktiver Prozess (oder Beweis) - der Erste wird übrigens Thales von Milet zugeschrieben - ist nichts anderes als, bei den Axiomen beginnend, Schritt für Schritt einen logischen Gedankengang zu entfalten (in strenger und formaler Sprache) wodurch man zu einem unbestreitbaren Satz (Theorem) gelangt. Die Methode der Axiomatisierung wird uns noch eingehend beschäftigen. "Euklid allein hat Schönheit rein geschaut" (Edna Millay): Es ist klar das diese Form der "reinen Erkenntnis" immer große Bewunderung und sogar erkenntnistheoretische Bedeutung erlangt hat, auch im Vergleich zum minder anspruchsvollen naturwissenschaftlichen Beweis der nie absolute Geltung beanspruchen kann.
Die mathematische Denkweise ist auch vom Wechselspiel von Konstruktion und Abstraktion geprägt; der Konstruktion immer neuer mathematischer Objekte auf einer Stufe der Betrachtung und dem Übergang zu einer neuen Stufe durch eine Abstraktion, deren Ergebnis neue mathematische "Objekte" sind.

 
 




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