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mathematik artikel (Interpretation und charakterisierung)

Pythagoras

Erlebensfallversicherung





In den bisher betrachteten Beispielen handelt es sich um Erlebensfallversicherungen. Beim Erreichen eines bestimmten Lebensalters tritt der Versicherungsfall ein.

Beispiel 2)
Der jetzt 45-jährige Herr Koller schließt eine Lebensversicherung mit der Summe
75.000 € ab, die ihm auszuzahlen ist, wenn er 50 Jahre alt wird. Er zahlt aber keine einmalige Prämie, sondern zahlt alljährlich bis (spätestens) zu seinem 49. Lebensjahr eine Prämie P ein.

Wie hoch ist diese bei p=3% ?
Wir benötigen dazu noch die statistischen Daten darüber, wie viele von 100.000 Neugeborenen 45, 46, 47, 48, 49, 50 Jahre alt werden.
Überlegung: Wenn sich alle in der Tabelle genannten versicherten, dann betrüge die Summe der von den Versicherten entrichteten Beträge bezogen auf den jetzigen Zeitpunkt:
91.839*P+ + + +
und wäre gleich der Summe aller vom Versicherer ausbezahlten Beträge bezogen auf heute, also P= 13.441,19 €


Vereinfachung:
*P+ + + + =

Um einfacher zu handhabende Werte zu erhalten, die außerdem vom konkreten Beispiel unabhängiger sind, multiplizieren wir in der Gleichung gliedweise mit dem Faktor

+ + + + =

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form , sind Barwerte der Zahl der Lebenden, bezogen auf den Zeitpunkt der Geburt. Man spricht von der „diskontierten Zahl der Lebenden vom Alter x“ und verwendet die Bezeichnung . Es gilt: = . Diese Werte werden ebenfalls in die Tabelle mit den aufgenommen. Wir erhalten somit: P*(D45 +D46+D47+D48+D49 ) = K*D50
Die Berechnung der Klammer kann mit einem Trick vereinfacht werden. Man nimmt in die Tabelle auch Summenwerte („kumulierte Werte) auf.
Es gilt: N45 = D45+ D46+ D47+ ... (bis ans Tabellenende)

Allgemein: Nx = Dx+ Dx+1+ Dx+2+ ...

Somit ergibt sich: P*( N45 - N50 ) = K* D50


P =


ad Bsp 2)
Berechnung der jährlichen Versicherungsprämie von Herrn Koller mit der Formel
P =


P = = 13.441,07 €

(anderes Ergebnis als vorher wegen Weglassung der Nachkommastellen in der Sterbetafel)



ad Bsp 1)
Berechnung mit Hilfe der Sterbetafel:

P * = K *

P * D45 = K * D60


P = 4.126,93 €

(anderes Ergebnis als vorher wegen Weglassung der Nachkommastellen in der Sterbetafel)

 
 



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