Aufgabenbeispiel zur kurvendiskussion

(1) Definitionsbereichbr / (2) Achsenschnittpunkte
(3) Grenzwerte für x -> +   x-> - 

Grenzwertverhalten an den Polstellen

Ableitungen
(6) Extrempunkte
(7) Polynomdivision -> Asymptotengleichung


1.Beispiel : f(x) = (x^2-4)/(x-1)


(1) Definitionsbereich


D(f) = R \\ {1}


Bedingung : x-1  0


x-1 = 0  x = 1


Achsenschnittpunkte


Schnittpunkte mit x-Achse


Bedingung : f(x) = 0

x^2-4 = 0  x =   4  x = -2  x = 2 (Auflösen nach x)
oder
x^2-4 = 0  (x+2)(x-2) = 0  x = -2  x = 2 (Binomische Formeln)


=>Sx1 (-2;0)  Sx2 (2;0)


Schnittpunkte mit y-Achse


Bedingung : x = 0


f(0) = (0^2-4)/(x-1) = -4/-1 = 4


=>Sy(0;4)

Grenzwerte für x-> -   x-> + 

lim f(x) = lim x^2-4 = lim x(x-4/x) = lim x-4/x [ =  /1] = + 

x-> x-> x-1 x-> x(1-1/x) x-> 1-1/x

oder

lim f(x) = lim x^2-4 = lim 1-4/x^2 [ = 1/0] = +

x-> x-> x-1 x-> 1/x-1/x^2

lim f(x) [ = - /1] = - 
x->-

Folgerung : lim f(x) =   lim f(x) = - 

x-> x->-


Grenzwertverhalten an den Polstellen

l-lim f(x) = lim (1-h)^2-4 = lim 1-2h+h^2-4 [ = -3/-h] = 
x->1 h->0 (1-h)-1 h->0 -h

r-lim f(x) = lim (1+h)^2-4 = lim 1+2h+h^2-4 [ = -3/h] = - 

x->1 h->0 (1+h)-1 h->0 h


Folgerung : Die Funktion f(x) = x^2-4
x-1
besitzt eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - an der Stelle x=1
Ableitungen

1.Ableitung

f'(x) = 2x(x-1)-(x^2-4)1
(x-1)^2


= x^2-2x+4
(x^2-2x+1)

2.Ableitung

f''(x) = (2x-2)(x^2-2x+1)-(x^2-2x+4)(2x-2)

(x-1)^4
= -6x+6 = -6(x-1) = _-6__
(x-1)^4 (x-1)^4 (x-1)^3


3.Ableitung


f'''(x) = 18

(x-1)^4

Extrempunkte

notwendige Bedingung : f'(x) = 0

f'(x) = x^2-2x+4 = 0
(x-1)^2


 x^2-2x+4 = 0
 x1 = 1 +  1-4 nicht definiert

x2 = 1 -  1-4 nicht definiert

LL = { }

Folgerung : Es gibt keine Hoch- oder Tiefpunkte

Asymptotengleichung

(x^2-4) : (x-1) = x+1 + (-3)/(x-1)

-(x^2-x)
x-4

-(x-1)
-3

(x^2-4) : (x-1) = x+1 + (-3)/(x-1)

 (x^2-4)/(x-1) = x+1 - 3/(x+1) = f(x) ¦ -(x+1)

 
f(x) g(x) ->0(x->  )



Behauptung : lim f(x) = lim g(x)
x->  x-> 

Beweis : x^2-4 - (x-1) = - 3

x-1 x-1


f(x) - g(x) = - 3
x-1

lim (f(x)-g(x) = lim - 3

x-> x-> x-1

lim f(x) - lim g(x) = 0  +[ lim g(x)]
x-> x-> x->

 lim f(x) = lim g(x) x-> x->