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mathematik artikel (Interpretation und charakterisierung)

Pythagoras

Partielle integration







1. Definitionr /

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Unter partieller Integration versteht man eine Methode, ein vorliegendes Integral auf ein anderes, einfacher zu berechnendes zurckzufhren. Da es dabei darauf ankommt, den Integranden in ein Produkt zweier Faktoren zu zerlegen und dann fr den einen Faktor eine Stammfunktion anzugeben, bezeichnet man diese Integrationsmethode als partielle Integration.

Es ist jedoch nur dann sinnvoll diese Methode der Integration anzuwenden, wenn das neue Integral (auch als Restintegral bezeichnet) einfacher ist, als das alte, das sogenannte Ausgangsintegral.

Die Produktintegrationsformel wird aus der Produktregel der Differenzialrechnung hergeleitet, deswegen nennt man die partielle Integration auch die Umkehrung der Produktregel.




2. Herleitung



Produktregel:


f(x) = u(x)v(x)


f '(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)


beidseitige Integration ber das Intervall [a; b]








oder





Ausgangsintegral Restintegral


3. Aufgaben


3.1. Einfach partielle Integration


a) xex dx

1. Ansatz: 01 x ex dx = [x ex]01 - 01 1 ex dx



= [x ex]01 - [ex]01 = (e-0) - (e-1) = 1


2. Ansatz: 01 x ex dx = [1/2 x x]01 - 01 1/2 x ex dx



Der 2. Ansatz war nicht gnstig gewhlt, da das Restintegral viel komplizierter als das Ausgangsintegral ist. Anhand Ansatz 1 ist der deutliche Unterschied zu erkennen. D.h., die Wahl von u und v ist entscheidend fr den weiteren Rechenweg, um die Vereinfachung dieser Methode nutzen zu knnen.



b) lnx dx

1 lnx dx = [x lnx] - x 1/x dx = [x lnx] - [x]


= x lnx - x + C

12 1 lnx dx = [x lnx]12 - 12 x 1/x dx = [x lnx]12 - [x]12


= (2 ln2 - ln1) - (2-1) = 2 ln2 - 1



c) (lnx) dx

1 (lnx) dx = [x(lnx)] - x 2lnx 1/x dx


= [x(lnx)] - [2(x lnx - x)]


= x(lnx) - (2x lnx - 2x)

= x(lnx) - 2x lnx + 2x + C


3.2. Mehrfach partielle Integration


a) 2ex(2-x) dx

2ex(2-x) dx = [2ex(2-x)] - 2ex(-2x)dx


= [2ex(2-x)] - ([2ex(-2x)] - 2ex(-2)dx)


= [2ex(2-x)] - ([2ex(-2x)] - [-4ex])


= (4ex-2exx) - (-4exx+4ex)+ C

= 4ex - 2exx2 + 4exx- 4ex + C

= -2exx2 + 4exx + C


01 2ex(2-x) dx = [2ex(2-x)]01 - 01 2ex(-2x)dx

= [2ex(2-x)]01 - ([2ex(-2x) ]01 - [-4ex]01)

= ...

= -2e112 + 4e11 = 2e


b) x sin x dx

x sin x dx = [-x cos x] + 2x cos x dx ( sin x dx = -cos x)

= [-x cos x] + ([2x sin x] - 2 sin x dx)

= [-x cos x] + [2x sin x] - [2 (-cos x)] + C

= [-x cos x] + [2x sin x] + [2 cos x] + C


0p x sin x dx = [-x cos x]0p + 0p 2x cos x dx

= [-x cos x]0p + [2x sin x]0p + [2 cos x]0p

= [-p cos p-0] + [2 p sin p-0] + [2 cos p-0]

= -p cos p + 2 p sin p + 2 cos p

 
 



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