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mathematik artikel (Interpretation und charakterisierung)

Funktionen

Funktionen







/ Definition: Wird jedem Element einer ersten Menge eindeutig ein Element einer zweiten Menge zugeordnet, so sprechen wir von einer Funktion.

Bezeichnungen:


(1)

Funktiongleichung:

f (x) = 2x+5


(2)

Funktionsterm:

2x+5


(3)

Funktionsvorschrift:

f : x 2x+5



1. Menge := Definitionsmenge ;

2. Menge := Wertemenge ;


Beispiele:

(1) f(x)= m*x*b

Lineare Funktion


(2) f(x)= x2

Quadratische Funktion


(3) f(x)= 5x

Exponentialfunktion

(4) f(x)=

Wurzelfunktion


(5) f(x)= log x

Logarithmusfunktion

(6) f(x)= sin x

Trigonnometrische Funktion


(7) f(x)= x3

Potenzfunktion

(8) f(x)= 1/x

Gebrochene Funktion



Verfahren zum ermitteln der Nullstellen:


(1)

Lineare Funktion

f(x)=2x+1
=>0=2x+1

-1=2x
-0,5=x

Bei linearen Funktionen muss man den Funktionsterm mit 0 gleichsetzen und die Gleichung äquivalent umformen. Schon erhält man die Nullstelle (-0,5|0).


(2)

Quadratische Funktion

f(x)=x2+5x-6
=>0=x2+5x-6

12,25=x2+5x+6,25
12,25=(x+2,5)2

3,5=x+2,5 v -3,5=x+2,5
1=x v -6=x

Bei quadratischen Funktionen muss man den Funktionsterm mit 0 gleichsetzen und die Gleichung mit der Hilfe der quadratischen Ergänzung oder der pq-Formel lösen. So erhält man die Nullstellen (1|0) und (-6|0).


(3)

Gleichungen 3. Grades







(I)

f(x)=x3+5x2-6x

=>0=x3+5x2-6x
0=x*(x2+5x-6)

x=0 v x2+5x-6=0

Bei Gleichungen 3. Grades ohne absolutem Glied ist 0 immer eine Lösung. Indem man den Term durch x teilt erhält man eine quadratische Funktion und kann die anderen Nullstellen mit den oben genannten Verfahren lösen. Bei diesem Beispiel sind die Nullstellen (0|0), (1|0) und (-6|0)



(II)

f(x)=x3-2x2+4x-8

Bei Gleichungen 3. Grades mit absolutem Glied kann man nicht mehr so leicht die Nullstellen bestimmen. Dafür verwendet man Verfahren wie die Polynomdivision oder das Halbierungsverfahren.

 
 



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