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mathematik artikel (Interpretation und charakterisierung)

System

Pythagoras

Fraktale geometriealler anfang ist chaos





Alte Völker glaubten, die Kräfte des Chaos und der Ordnung seien ein Teil einer unbehaglichen Spannung. Sie stellten sich etwas Unermeßliches und Kreatives vor. "Tohu wabohu" - die Erde war wüst und leer, das Chaos vor der göttlichen Schöpfung (Altes Testament, 1. Buch Mose). Kosmologien aller Kulturen stellten sich einen Anfangszustand vor, in dem Chaos oder Nichts vorherrschten, aus dem die Wesen und die Dinge hervorbrachen.



In der babylonischen Schöpfungsgeschichte hieß das Chaos Tiamat, die Urmutter des Alls. Diese Götter verkörperten die verschiedenen Gesichter des Chaos. Zu Beispiel gab es einen Gott, der die grenzenlosen Weiten ursprünglicher Gestaltlosigkeit symbolisierte, und einen Gott, der Verborgenere genannt, der die Unberührbarkeit und Nichtwahrnehmbarkeit darstellte, die im Chaos lauert. Die Lehre, daß das Chaos doch einer gewissen Ordnung unterliegt, wie es in der modernen Wissenschaft dargestellt wird, mußte noch Tausende von Jahren warten.



Die mythische Vorstellung, daß die kosmische Schöpferkraft auf einer wechselseitigen Beziehung zwischen Ordnung und Unordnung beruht überlebte sogar noch die monotheistischen Kosmologien wie die des Christentums. Es ist die Rede vom Kampf der Gottheit gegen die Mächte des Chaos. Die Sintflut, Satan und die Peiniger Jesu Christi wurde als böse Gesandten des Chaos gesehen.



Schon das Wort Unordnung legt nahe, daß Ordnung der Unordnung vorangeht und sie überragt. Die griechischen Philosophen impften dem Chaos eine wissenschaftliche Haltung ein. Thales, Anaximander und Anaxagora schlugen vor, daß eine besondere Substanz oder Energie - wie Wasser oder Luft - in chaotischer Bewegung gewesen sei und daß aus dieser Substanz heraus die verschiedenen Gestalten im Universum herauskristallisiert wären. Aristoteles distanzierte sich noch weiter vom Chaos. Er spekulierte daß die Ordnung alles durchdringt und immer raffinierter und komplexer wird.



Das Mittelalter vermischte die Theorien und stellte sie gegenüber. Zur Zeit Galileis, Keplers, Descartes' und Newton hatte der wissenschaftliche Geist mit seiner Unterdrückung des Chaos die Oberhand gewonnen. Newtons Gesetze der Himmelsmechanik und Descartes' Koordinaten erweckten den Anschein, daß alles mathematischen oder mechanischen Grundsätzen unterliegt.

Man konnte sich vorstellen, daß eines Tages eine einzige mathematische Gleichung reicht, um alles zu erklären.



Das 19. Jahrhundert aber stellte diesen Zauber auf eine harte Probe. Zum Beispiel hatten schon um die Mitte des 18. Jahrhunderts Forscher begonnen, sich darüber den Kopf zu zerbrechen, warum es ihnen nicht gelang, eine sich für immer bewegende Maschine, ein Perpetuum mobile, zu erfinden. Dummerweise stellte sich beim Betreiben jeder Maschine heraus, daß ein Teil der eingespeisten Energie in eine Form überging, die man nicht zurückgewinnen und wiederbenutzen konnte. Die Energie war desorganisiert, chaotisch geworden. Dies führte zum Entropiegesetz und zur Begründung der Wärmelehre oder Thermodynamik. Bedeutet die Tatsache, daß jede Maschine ständig neue Energie braucht und daß alle Gestalten unausweichlich unter der Lawine der Entropievermehreung zermalmt werden und zerfallen, bedeutet dies, daß das Chaos im Prinzip ebenso mächtig ist wie die Ordnung?.







In den siebziger Jahren des 19. Jahrhunderts versuchte der Wiener Physiker Ludwig Boltzmann der Herausforderung zu begegnen, indem er bewies, daß Newtons Mechanik trotz allem auf dem reduktionistischen Niveau (Reduktion: das Zurückführen; Reduktion eines komplizierten Sachverhalts oder Begriffes auf einen einfachen) der Atome und Moleküle gültig ist. Nur wird es in komplizierten Systemen, wo Trillionen von Atomen und Molekülen herumtorkeln und einander stoßen, immer weniger wahrscheinlich, daß diese geordnete Beziehungen zueinander aufrechterhalten. Boltzmann führte die Wahrscheinlichkeit in die Physik ein.



Charles Darwin und Alfred Russel Wallace stellten eine Theorie auf, die erklärte wie neue Lebensformen erscheinen. Der Zufall führte dabei nicht zum Durcheinander und Zerstörung komplexer Ordnung, sondern erzeugt hier Zufallsvariationen und Individuen wie es eben nur das Leben schafft. Die Menschheit sah sich nun als Ergebnis unwahrscheinlicher Zusammenstöße.



Als die Ingenieure des 19. Jahrhunderts ihre neuen Brücken, Dampfschiffe und anderen technischen Wunderwerke errichteten, so begegnete ihnen immer wieder Unordnung in Form plötzlicher Veränderungen, die so ganz anders waren als das langsame Wachstum der Entropie. Platten wölbten sich unerwartet auf, und Baustoffe brachen. Solche Erscheinungen forderten die Mathematik heraus. Der Wissenschaft erschien ein Phänomen gesetzmäßig, wenn die Bewegungen sich im Sinne eines Schemas von Ursache und Wirkung durch eine Differentialgleichung darstellen ließen. Newton führte die Idee des Differentials erstmals in seinen berühmten Bewegungsgleichungen ein, die zeitliche Veränderungen mit Kräften in Beziehung setzten. Von nun an verließen sich die Wissenschaftler auf lineare Differentialgleichungen. Kleine Wirkungen rufen kleine - große Veränderungen große Wirkungen hervor. Große Wirkungen kommen zustande, indem sich kleine Veränderungen aufsummierten. Das sollte allerdings nicht der Weisheit letzter Schluß sein.



Es gibt nämlich auch noch nichtlineare Gleichungen. Sie kommen in der Beschreibung unstetiger Vorgänge vor - wie etwa Explosionen, plötzlichen Materialbrüchen oder hohen Windgeschwindigkeiten. Mathematiker konnten nur die allereinfachsten nichtlinearen Gleichungen in Spezialfällen lösen, und allgemeines nichtlineares Verhalten blieb ein Geheimnis. Um die mechanischen Meisterleistungen jedoch zu vollbringen, war es notwendig auf "lineare Näherungen" zurückzugreifen. Diese sind eine besondere Art der Differentialgleichung. Sie stützen sich auf vertraute Intuitionen und den zuverlässigen reduktionistischen Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung. Noch einmal hatten die Wissenschaftler den alten reduktionistischen Zauber wirksam erhalten.



Dieser Zauber hielt bis in die siebziger Jahre an, als mathematische Fortschritte und das Aufkommen immer schnellerer Computer die Wissenschaftler in die Lage versetzten, komplexe und nichtlineare Gleichungen zu untersuchen. Diese seltsame Art der Mathematik trieb die turbulente Wissenschaft an.Die nichtlineare Gleichung



Als eine Faustregel für die Unterscheidung zwischen linearen und nichtlinearen Systemen kann gelten: Während ein lineares System exakt die Summe seiner Teile darstellt, umfaßt ein nichtlineares stets mehr als die Summe seiner Einzelteile. Wer nichtlineare Gleichungen löst, bewegt sich scheinbar in einer normalen mathematischen Landschaft, kann sich aber ganz plötzlich in einer anderen Wirklichkeit wiederfinden. In einer nichtlinearen Gleichung kann die winzige Änderung einer Variablen eine völlig unverhältnismäßige, ja katastrophale Wirkung auf andere Variable haben. Während die Beziehungen zwischen den Elementen konstant sein mögen, ändert ich dies plötzlich an einem kritischen Punkt und die das System beschreibende Gleichung schießt in einen Bereich völlig anderen Verhaltens. Die Werte schnellen auseinander. Bei linearen Gleichungen erlaubt die Untersuchung einer Lösung, das Ergebnis auf andere Lösungen zu verallgemeinern; bei nichtlinearen Gleichung ist das anders. Nichtlineare Gleichungen sind eigenbrötlerisch und absonderlich.



Anders als die schönen glatten Kurven zeigen nichtlineare Gleichungen Lücken, Schleifen, Rekursionen und Turbulenzen aller Art. Mit ihnen kann man beschreiben wie ein Erdbeben losbricht. Die Gleichung zeigt, wie beim Zusammenquetschen der unter der Oberfläche verborgenen Landschaft diese Spannung jahrzehntelang allmählich steigt, bis plötzlich ein Millimeter ausreicht um einen kritischen Wert zu erreichen. Bei diesem Wert macht die Spannung einen Sprung, wobei die einen Platte über die andere gleitet und den Boden in dieser Gegend heftig erdbeben läßt. Diesem ersten Stoß folgen weitere Instabilitäten.



Nichtlineare Gleichungen können solches Chaos darstellen, wie sich derart komplexe Ereignisse entfalten, sie erlauben aber keinesfalls, genau vorherzusagen, wo und wann das nächste Beben zu erwarten ist. Vorhersagen sind sowohl praktisch als auch theoretisch unmöglich. Das Nichtlineare ist der Alptraum der Reduktionisten.



Die Gleichungen der Einsteinschen allgemeinen Relativitätstheorie sind im wesentlichen nichtlinear, und besonders das Schwarze Loch, ein Riß im Gewebe der Raumzeit, wo die ordentlichen Gesetze der Physik versagen. Systemtheoretiker rechnen mit nichtlinearen Gleichungen und schaffen es dadurch, die Wirkungen verschiedener Planungsstrategien auf die Entwicklung von Städten und das Wirtschaftswachstum darzustellen. Es lassen sich kritische Punkte aufspüren, die eine unverhältnismäßig große Wirkungen hervorbringen würden.



Ein wichtiger Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Gleichungen ist die Rückkoppelung - d. h. in nichtlinearen Gleichungen gibt es Terme, die wiederholt mit sich selbst multipliziert werden. Ein jedermann vertrautes Rückkoppelungssystem ist auch die Regelung der Hausheizung. Sinkt die Zimmertemperatur unter den Wert, der auf dem Thermostat eingestellt wurde, so antwortet der Thermostat, indem er den Brenner einschaltet, und es wird wärmer. Steigt die Zimmertemperatur aber über eine zweite, auf dem Thermostat eingestellte Temperatur, so meldet dieser dem Brenner, daß er abschalten muß. Was der Thermostat tut, beeinflußt den Brenner, aber ebenso beeinflußt das, was der Brenner tut, den Thermostaten. Dies nennt man negative Rückkoppelung. Weitere mathematische Modelle für die negative Rückkoppelung finden sich in der Beziehung zwischen Raubtier und Beute und der amerikanische Verfassung.



Erst in den vierziger Jahren erkannte man das eigentliche Wesen negativer Rückkoppelungsschleifen. Und somit auch die positive Rückkoppelung. Das ohrenbetäubende Pfeifen einer öffentlichen Lautsprecheranlage ist ein Beispiel dafür. Es setzt schlagartig ein, wenn das Mikrophon zu nahe an den Lautsprecher kommt. Das Mikrophon fängt etwas aus dem Lautsprecher auf und schickt es zurück in den Verstärker, der es wiederum an die Lautsprecher weitergibt. Das chaotische Geräusch resultiert aus einem Verstärkungsprozeß, in dem das Ausgangssignal einer Stufe zum Eingangssignal einer anderen wird.



Die Namen positiv und negativ bedeuten, das der eine Typ hemmt und der andere verstärkt. Heute weiß man, daß diese beiden Arten überall vorkommen: auf allen Ebenen des Lebendigen, Evolution, Ökologie und Psychologie. Die Rückkoppelung verkörpert wie die Nichtlinearität eine grundsätzliche Spannung zwischen Ordnung und Chaos. Deterministisches Chaos



Unter Determinismus versteht man eine Form der Weltsicht, nach der alle Ereignisse und Vorgänge auf der Welt durch klare mathematische, physikalische oder chemische Gesetzmäßigkeiten ablaufen. Im religiösen Determinismus steht der Wille Gottes hinter allem Geschehen. Damit setzt sich die Chaosforschung in bewußten Gegensatz zu dem reduktionistischen Weltbild der klassischen Newtonischen Mechanik, der einfachen Kausalität (Zusammenhang von Ursache und Wirkung) und strengen Determination. Mit dieser Weltsicht gaben sich die Chaosforscher jedoch nicht mehr zufrieden. Wo Chaos beginnt, hört die klassische Wissenschaft auf. Die Definition von Chaos als geordnete Unordnung hat meist den Beigeschmack, da Chaos im Alltag für Durcheinander und Regellosigkeit steht.



Systemforscher gehen davon aus, daß keine exakt gleichen Ursachen existieren. Der amerikanische Wissenschaftler Marvin Minsky ist der Ansicht, daß es in einer Welt, in der sämtliche Ereignisse und Vorgänge in mehr oder weniger gleichem Umfang von allen anderen Geschehen abhängig sind, keine einfachen Ursachen mehr geben kann.



In der modernen Naturwissenschaft bezeichnet der Begriff des Deterministischen Chaos das Verhalten nichtlinearer Systeme, daß prinzipiell nicht vorhersagbar ist. Obwohl diese Systeme selbst streng naturgesetzlichen Kräften unterliegen und von diesen determiniert werden, sind sie aufgrund ihrer vielfachen Rückkoppelungen und ihrer Komplexität extrem abhängig von den jeweiligen Anfangsbedingungen. Wie beim Schmetterlingseffekt können sich mikroskopisch (nur mit Mikroskop erkennbar) kleinste Schwankungen innerhalb kurzer Zeit zu makroskopisch (mit freiem Auge erkennbar) größten Veränderungen entwickeln. Chaotisches Verhalten zeigt dabei im Gegensatz zu rein zufälligen oder nur wahrscheinlichen Vorgängen - wie etwa beim Würfeln - tiefreichende Strukturen und Ordnungsmuster, auch Attraktoren genannt.



Bei der Untersuchung des deterministischen Chaos, geht es vor allem um die Instabilität von Prozessen oder Systemen gegenüber kleinen und kleinsten Abweichungen in ihren Anfangsbedingungen. Ist das System chaotisch - wie das Wetter oder Turbulenzen - kommt es bei minimalen Abweichungen von den jeweiligen Anfangsbedingungen bereits nach kurzer Zeit zu höchst unterschiedlichen Formen und Gestalten. Diese sensitive Abhängigkeit ist dafür verantwortlich, daß sich chaotische Systeme nicht vorhersagen lassen, da solche Anfangs, oder Randbedingungen nicht exakt bestimmbar sind.



Die grundlegende Aussage der Chaosforschung lautet also: Vorhersagen über nichtlineare und dynamische Systeme sind nicht möglich. Exakt gleiche Ursachen haben zwar weiterhin exakt gleiche Wirkungen - aus diesem Grund spricht man auch vom determinstischen Chaos - aber realistisch gesehen gibt es weder exakt gleiche Ursachen, noch können die jeweiligen Anfangsbedingungen genau ermittelt werden. An die Stelle von deterministischen Kausalbeziehungen treten Nichtlinearität und rückgekoppelte Wechselwirkungen.



Das bedeutet, daß überall Chaos herrscht, auch in scheinbar einfachen Systemen.Beispiele zur Chaosforschung

 
 



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