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mathematik artikel (Interpretation und charakterisierung)

Einführung und grundbegriffe





Es gibt verschiedene Arten von Versicherungen. Stets zahlt der Versicherer (die Versicherungsanstalt) dem Versicherten einen Betrag – die Versicherungssumme – aus, wenn der Versicherungsfall eintritt. Der Versicherungsfall ist irgend ein Ereignis, z.b. Ein Unfall, eine Feuersbrunst, ein Einbruch, eine Haftung für ein Verschulden, das Erleben eines bestimmten Alters, ein Todesfall u.a. m. Der Versicherte entrichtet dafür dem Versicherer eine einmalige oder eine jährliche Prämie. Die Höhe der Prämie ist ein bestimmter Bruchteil der Versicherungssumme. Dieser Bruchteil resultiert vor allem aus statistischen Daten über den Einritt des Versicherungsfalles.

Beispiel 1)
Herr Koller ist 45 Jahre alt und will heute eine Lebensversicherung mit einer Versicherungssumme von 75.000 € auf den Erlebensfall abschließen. Dieser Betrag ist ihm auszuzahlen, wenn er 60 Jahre alt wird. Welche einmalige Prämie P muss er heute einzahlen? Es wird ein Zinssatz p von 3% zugrunde gelegt, die Kosten des Versicherers werden nicht berücksichtigt.


1. Lösungsweg:
Aus einer Statistik geht hervor: Von 100.000 Neugeborenen erreichen 91.839 das

Alter von 45 Jahren und 78.734 von ihnen werden 60 Jahre alt. Von den jetzt 45 jährigen erreicht somit ein Anteil von ein Alter von 60 Jahren; das sind rund 86 %. Nur an diese wird die Versicherungssumme ausbezahlt.

Herr Koller muss somit nur diesen Bruchteil der Versicherung einzahlen, das wären * 75.000 €. Da Herr Koller jetzt – also 15 Jahre vor dem möglichen

Erreichen des 60. Lebensjahres – zahlt, erlegt er den Barwert dieses Betrages bezogen auf heute.


B= = 41.270,34 € = P A: Er zahlt somit 41.270,34 €.


2. Lösungsweg:
Wenn sich alle Personen (91.839) der 45-jährigen mit einer Prämie P versichern, dann müssten an die 78.734 Personen, die dann noch leben, je 75.000 € ausgezahlt werden. Die Summe der eingezahlten Prämien ist dann gleich dem Barwert der Summe der ausgezahlten Versicherungssummen:

91.839*P= €
Ad Bsp1)
Berechne den Endwert K15, den der Einzahlungsbetrag von 41.270,34 € von Aufgabe 1 bei der Verzinsung zum Zinssatz von 3 % in 15 Jahren erreicht und vergleiche mit der Versicherungssumme 75.000 €.
K15 = 64.297,85 €

Die Versicherungssumme ist höher als K15, weil nicht alle 45jährigen (sondern nur ~86%) 60 Jahre alt werden und dann diese Summe erhalten.
Reine Erlebensversicherungen sind in der Praxis aber eher selten. Man kann für normale Geldanlagen eine noch höhere Verzinsung erzielen, z.B. durch geschicktes Anlegen auf einem Sparbuch.
Im Bereich der Sozialversicherung gilt der sogenannte „Generationenvertrag“; Die arbeitende Bevölkerung kommt für die Alters- und Invalidenversorgung auf. Im Bereich der freiwilligen Versicherung werden die Leistungen durch die versicherten selbst aufgebracht, etwa nach dem Grundsatz: Viele Versicherte zahlen eine geringe Prämie, und wenige Geschädigte erhalten einen hohen Schadenersatz. Im Idealfall gilt hier das Äquivalenzprinzip:
Leistung der Versicherten = Gegenleistung des Versicherers
Die Versicherung kommt dadurch auf ihre Kosten, dass sie die Prämien der Versicherten zum niedrigen Zinssatz von 3 % verzinst und selbst die Gelder höherverzinst weiterverborgt.

 
 



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