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mathematik artikel (Interpretation und charakterisierung)

System

Die nichtlineare gleichung





Als eine Faustregel für die Unterscheidung zwischen linearen und nichtlinearen Systemen kann gelten: Während ein lineares System exakt die Summe seiner Teile darstellt, umfaßt ein nichtlineares stets mehr als die Summe seiner Einzelteile. Wer nichtlineare Gleichungen löst, bewegt sich scheinbar in einer normalen mathematischen Landschaft, kann sich aber ganz plötzlich in einer anderen Wirklichkeit wiederfinden. In einer nichtlinearen Gleichung kann die winzige Änderung einer Variablen eine völlig unverhältnismäßige, ja katastrophale Wirkung auf andere Variable haben. Während die Beziehungen zwischen den Elementen konstant sein mögen, ändert ich dies plötzlich an einem kritischen Punkt und die das System beschreibende Gleichung schießt in einen Bereich völlig anderen Verhaltens. Die Werte schnellen auseinander. Bei linearen Gleichungen erlaubt die Untersuchung einer Lösung, das Ergebnis auf andere Lösungen zu verallgemeinern; bei nichtlinearen Gleichung ist das anders. Nichtlineare Gleichungen sind eigenbrötlerisch und absonderlich.

Anders als die schönen glatten Kurven zeigen nichtlineare Gleichungen Lücken, Schleifen, Rekursionen und Turbulenzen aller Art. Mit ihnen kann man beschreiben wie ein Erdbeben losbricht. Die Gleichung zeigt, wie beim Zusammenquetschen der unter der Oberfläche verborgenen Landschaft diese Spannung jahrzehntelang allmählich steigt, bis plötzlich ein Millimeter ausreicht um einen kritischen Wert zu erreichen. Bei diesem Wert macht die Spannung einen Sprung, wobei die einen Platte über die andere gleitet und den Boden in dieser Gegend heftig erdbeben läßt. Diesem ersten Stoß folgen weitere Instabilitäten.

Nichtlineare Gleichungen können solches Chaos darstellen, wie sich derart komplexe Ereignisse entfalten, sie erlauben aber keinesfalls, genau vorherzusagen, wo und wann das nächste Beben zu erwarten ist. Vorhersagen sind sowohl praktisch als auch theoretisch unmöglich. Das Nichtlineare ist der Alptraum der Reduktionisten.

Die Gleichungen der Einsteinschen allgemeinen Relativitätstheorie sind im wesentlichen nichtlinear, und besonders das Schwarze Loch, ein Riß im Gewebe der Raumzeit, wo die ordentlichen Gesetze der Physik versagen. Systemtheoretiker rechnen mit nichtlinearen Gleichungen und schaffen es dadurch, die Wirkungen verschiedener Planungsstrategien auf die Entwicklung von Städten und das Wirtschaftswachstum darzustellen. Es lassen sich kritische Punkte aufspüren, die eine unverhältnismäßig große Wirkungen hervorbringen würden.

Ein wichtiger Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Gleichungen ist die Rückkoppelung - d. h. in nichtlinearen Gleichungen gibt es Terme, die wiederholt mit sich selbst multipliziert werden. Ein jedermann vertrautes Rückkoppelungssystem ist auch die Regelung der Hausheizung. Sinkt die Zimmertemperatur unter den Wert, der auf dem Thermostat eingestellt wurde, so antwortet der Thermostat, indem er den Brenner einschaltet, und es wird wärmer. Steigt die Zimmertemperatur aber über eine zweite, auf dem Thermostat eingestellte Temperatur, so meldet dieser dem Brenner, daß er abschalten muß. Was der Thermostat tut, beeinflußt den Brenner, aber ebenso beeinflußt das, was der Brenner tut, den Thermostaten. Dies nennt man negative Rückkoppelung. Weitere mathematische Modelle für die negative Rückkoppelung finden sich in der Beziehung zwischen Raubtier und Beute und der amerikanische Verfassung.


Erst in den vierziger Jahren erkannte man das eigentliche Wesen negativer Rückkoppelungsschleifen. Und somit auch die positive Rückkoppelung. Das ohrenbetäubende Pfeifen einer öffentlichen Lautsprecheranlage ist ein Beispiel dafür. Es setzt schlagartig ein, wenn das Mikrophon zu nahe an den Lautsprecher kommt. Das Mikrophon fängt etwas aus dem Lautsprecher auf und schickt es zurück in den Verstärker, der es wiederum an die Lautsprecher weitergibt. Das chaotische Geräusch resultiert aus einem Verstärkungsprozeß, in dem das Ausgangssignal einer Stufe zum Eingangssignal einer anderen wird.

Die Namen positiv und negativ bedeuten, das der eine Typ hemmt und der andere verstärkt. Heute weiß man, daß diese beiden Arten überall vorkommen: auf allen Ebenen des Lebendigen, Evolution, Ökologie und Psychologie. Die Rückkoppelung verkörpert wie die Nichtlinearität eine grundsätzliche Spannung zwischen Ordnung und Chaos.

 
 



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