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Der sinussatz





Der Sinussatz / Sinus Der Sinussatz und der Kosinussatz sind zwei Erweiterungen der trigonometrischen Funktionen, die an sich ja nur in rechtwinkligen Dreiecken definiert sind, auf beliebige Dreiecke. Der \"Trick\" dabei ist in beiden Fällen, das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke zu \"teilen\". (Die Höhe steht senkrecht auf der Seite.) sinus In beiden Teildreiecken läßt sich nun die Definition des Sinus anwenden: sinus Übertragen auf die beiden Teildreiecke: sinus Jeweils nach hc aufgelöst: sinus Da bei beiden Gleichungen rechts dasselbe, nämlich hc, steht, sind auch beide linken Seiten der Gleichungen gleich: sinus Wenn man durch a und b teilt, entsteht eine Verhältnisgleichung mit einander entsprechenden Größen in jedem Bruch: sinus Entsprechend funktioniert es bei Teilung des Dreiecks durch die anderen Höhen, wobei sich stets ergibt, daß sich die Verhältnisse zwischen Sinuswerten der Winkel und den gegenüberliegenden Seiten jeweils paarweise gleichen. Insgesamt gilt daher der Sinussatz: sinus Stillschweigend wurde bis jetzt vorausgesetzt, daß die Höhen innerhalb des Dreieck liegen. Was ist, wenn eine Höhe außerhalb liegt, wie bei diesem Dreieck? sinus Nun wird das Dreieck nicht mehr in zwei rechtwinklige Teildreiecke \"geteilt\".

     Allerdings entstehen auch hier zwei rechtwinklige Dreiecke. Das linke hat - wie oben - die Gegenkathete hc und die Hypotenuse b, der Winkel ist nach wie vor a. Auch das rechte hat wieder die Hypotenuse a und die Gegenkathete hc. Der einzige Unterschied besteht darin, daß hier der relevante Winkel nicht b ist, sondern dessen Nebenwinkel b\', wobei gilt: b\' = 180° - b. Glücklicherweise ist die Sinusfunktion symmetrisch, u.a.

     mit der Achse 90°. Es gilt: sin(180° - b) = sin(b) und, weil 180° - b = b\': sin b\' = sin b Daraus folgt unmittelbar, daß der Sinussatz auch in Dreiecken gilt, bei denen eine Höhe außerhalb liegt, bei denen mithin ein Winkel größer als 90° ist. Bei rechtwinkligen Dreiecken (z.B. b = 90°) ist der Sinussatz äquivalent zur Definition des Sinus, denn bei b = 90° ist sin b = 1. Außerdem ist a identisch mit hc.

     Somit gilt: sinus sinussatz

 
 



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