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mathematik artikel (Interpretation und charakterisierung)

Pythagoras

Der formalismus





Für die Formalisten, allen voran David Hilbert, ist die Mathematik eine Art Spiel mit Symbolen und Formeln. Es gibt nur formale Strukturen, die sich nach gewissen Regeln ineinander überführen lassen. Anschauung und Erfahrung sind für Formalisten ohne jegliche Bedeutung. Ein Satz ist nur dann wahr, wenn er sich aus einem widerspruchsfreien Axiomensystem herleiten läßt. Die Axiome selbst können willkürlich gewählt werden. Entgegen anderer Auffassungen von der Mathematik sind sie nicht durch die Vernunft vorherbestimmt. Die Axiome müssen in ihrer inhaltlichen Bedeutung nicht bekannt sein. Sie können auch als bloße Zeichen gegeben sein. Wenn man mit den Axiomen umzugehen versteht, kann man so neue Sätze herleiten.
Eine einfache Analogie für den formalistischen Standpunkt ist das Schachspiel. Man benötigt keine Holzfiguren, man kann sie auch als Zeichen fixieren und die Regeln angeben. Ein Turm ist nur durch seine möglichen Züge definiert. Wie die Figur aussieht, und ob sie überhaupt vorhanden ist, ist egal. Schließlich läßt sich eine Partie Schach ja auch auf einem Blatt Papier durch Anschreiben der Züge spielen..
Die einzelnen Begriffe, oder auch Zeichen, sind durch die Axiome vollständig definiert. Da sie ohne die Axiome keine Bedeutung haben, sind sie somit impliziert definiert.
Da im Formalismus alle Widersprüche ausgeschlossen sind, muß in formalistischen Systemen jede widerspruchsfrei gestellte Frage eindeutig zu beantworten sein, auch wenn die Antwort, wie beim großen Fermat-Problem noch nicht gefunden ist. Fermat vermutete, daß man für die Gleichung xn+yn=zn (n, n>2) keine ganzzahlige Lösung finden kann. Gemäß den Formalisten muß es für diese Gleichung ein Lösungstripel geben, oder eben nicht.
Einen schweren Schlag erlitt die formalistische Ansicht durch Kurt Gödel. Er konnte beweise, daß ein System, das formal widerspruchsfrei ist, seine Widerspruchsfreiheit nicht mit den eigenen formalen Mitteln nachweisen kann. Dadurch erwies sich Hilberts Programm im strengen Sinn als undurchführbar.

 
 



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