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Ein Stück des Graphen einer im Intervall [a; b] stetigen Funktion f rotiert um die x-Achse. Dabei entsteht ein Rotationskörper. Zur Berechnung seines Volumens V denken wir uns den Körper senkrecht zur x-Achse in Scheiben der Dicke Dx = (b-a)/n zerschnitten. Das Volumen einer Scheibe ergibt sich aus der Grundfläche (Kreis mit r = f(x) ) multipliziert mit der Höhe (Dx), also
A(x) × Dx = p × [f(x)]2 × Dx
Für Unter- und Obersumme gilt demnach:
Un = A(x1) × Dx + A(x2) × Dx + A(x3) × Dx + . + A(xn) × Dx
On = A(x2) × Dx + A(x3) × Dx + A(x4) × Dx + . + A(b) × Dx
mit A(x) = p × (f(x))2
Þ Satz:
Die Funktion f sei im Intervall [a; b] stetig.
Dann gilt für das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers:
Quellen: Infinitesimalrechnung 2, bsv München, 1997
Mathematik im Telekolleg 2, Analysis Integralrechnung, TR-Verlagsunion München, 1989
Folie zum Referat: Rauminhalt eines Rotationskörpers
A(xi) = p × [f(xi)]2
Un = A(x1) × Dx + A(x2) × Dx + A(x3) × Dx + . + A(xn) × Dx
On = A(x2) × Dx + A(x3) × Dx + A(x4) × Dx + . + A(b) × Dx
Þ Satz: Die Funktion f sei im Intervall [a; b] stetig.
Dann gilt für das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers: V = |
