Lineare abhängigkeit und lineare unabhängigkeit von vektoren

Die Vektoren a1,a2,...,an heißen linear abhängig, wenn sich mindestens einer von ihnen als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen läßt.
Die Vektoren a1,a2,...,an heißen linear unabhängig, wenn sich keiner von ihnen als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen läßt.


Linearkombination von Vektoren:
Sind a1,a2,...,an Vektoren und 1,2,...,n und i  R so heißt ein Vektor der Form
1a1+2a2+...+nan
eine Linearkombination der Vektoren a1,a2,...,an über der Menge der reellen Zahlen.

Die Vektoren a1,a2,...,an sind genau dann linear abhängig, wenn es ein Darstellung 1a1+2a2+...+nan = 0 wobei i  R gibt, in der mindestens einer der Werte i  0.
Die Vektoren a1,a2,...,an sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung 1a1+2a2+...+nan = 0 wobei i  R nur für 1 = 2 =...= n = 0 ein wahre Aussage ist.


Kollineare und komplanare Vektoren

Zwei oder mehrere Vektoren heißen kollinear, wenn ihre Repräsentanten zu ein und derselben Geraden parallel sind.
Diese müssen nicht gleich orientiert sein und von ihnen lassen sich Repräsentanten in eine Gerade legen.
Drei oder mehrere Vektoren heißen komplanar, wenn ihre Repräsentanten zu ein und derselben Ebene parallel sind.
Kollineare Vektoren sind stets komplanar, komplanare Vektoren müssen jedoch nicht kollinear sein.

Jeder Vektor einer Menge komplanarer Vektoren, die nicht alle kollinear sind, lässt sich eindeutig als Linearkombination zweier nichtkollinearer Vektoren dieser Menge darstellen.
Jeder Vektor einer Menge nichtkomplanarer Vektoren lässt sich eindeutig als Linearkombination dreier nichtkomplanarer Vektoren dieser Menge darstellen.

Zwei Vektoren sind genau dann kollinear, wenn sie linear abhängig sind.
Drei Vektoren sind genau dann komplanar, wenn sie linear abhängig sind.
Drei Vektoren sind genau dann nichtkomplanar, wenn sie linear unabhängig sind.
Vier Vektoren des Raumes sind stets linear abhängig.

Nullvektor: Ein Vektor, der vom Nullvektor verschieden ist, ist linear unabhängig.
Der Nullvektor ist zu jedem Vektor kollinear.
Der Nullvektor ist zu jedem Paar von Vektoren komplanar.