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Dies ist die 1926 von Erwin Schrödinger aufgestellte fundamentale Gleichung der Quantenmechanik. Sie beschreibt in guter Näherung die Bewegung von Elektronen. Ihre meist approximative Lösung liefert Wellenfunktionen y(r), deren Betragsquadrat |y(r)|² als Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte interpretiert wird. Bei hoher Geschwindigkeit (nahe der Lichtgeschwindigkeit) müssen auch relativistische Effekte berücksichtigt werden, während bei der Wechselwirkung mit äußeren Magnetfeldern der Spin die entscheidende Rolle spielt, was sich in der Dirac-Gleichung ausdrückt. Als Fermionen, das heißt mit halbzahligem Spin, gehorchen Elektronen der Fermi-Dirac-Statistik.
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist eine Bewegungsgleichung, die mit Hilfe der Wellenfunktion die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems, z. B. eines Atoms, beschreibt. Für komplexere Systeme ist sie nicht mehr analytisch lösbar und kann derzeit nur angenähert werden.
i h / t = H`
Hierbei sind i die Einheit der imaginären Zahl, h das durch 2 geteilte Plancksche Wirkungsquantum, t die Zeit und H` der Hamilton-Operator. Wenn letzterer nicht von der Zeit abhängt, hat die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung die stationäre Lösung der Form
(r,t) = (r) * e - i E t /
Hierbei ist E ein konstanter Energie-Eigenwert. Die nur noch von den Ortskoordinaten (und eventuell Spin-Koordinaten) der Teilchen (pauschal zusammengefaßt zur Variablen r) abhängige Wellenfunktion (r) ist Eigenfunktion der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
H` (r) = E (r)
Der Hamilton-Operator ist der zur Gesamtenergie eines quantenmechanischen Systems gehörende Energieoperator. Da es sich um einen hermiteschen Operator handelt, sind seine Eigenwerte reell. Eigenwerte und Eigenfunktionen des Hamilton-Operators erhält man durch Lösung der Schrödinger-Gleichung. Der Hamilton-Operator für die Bewegung des Elektrons im Wasserstoff-Atom lautet
H` = - [h²] / [2] - [e²] / [4 0 r]
Der erste Term ist hierbei der Anteil der kinetischen Energie (: Laplace-Operator), der zweite derjenige der potentiellen Energie (Coulomb-Anziehung zwischen Elektron und Proton).
Die den Grundzustand des Wasserstoff-Atoms beschreibende Wellenfunktion hat die mathematische Form
(r) = ( a0³)-1/2 e - r / a0
Hierbei ist r der Abstand zwischen Elektron und Proton und a0 der Bohrsche Radius.
Die Elektronenstruktur des Wasserstoff-Atoms wird durch die folgende zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung beschrieben:
[- [h²] / [2 ] (r) - [e²] / [4 0 r] ] (r) = E (r)
Hierbei sind h die Plancksche Konstante geteilt durch 2, ist die reduzierte Masse ( = [me mp] / [me + mp]), me und mp sind die Elektronenruhemasse bzw. Protonenruhemasse, ist der Laplace-Operator, die Wellenfunktion, e die Elementarladung, r der Abstandsvektor zwischen Elektron und Proton und r seine Länge, 0 die elektrische Feldkonstante und E ein Energieeigenwert des Wasserstoff-Atoms zu der Eigenfunktion . Da die Wechselwirkung zwischen Elektron und Proton nur von ihrem inversen Abstand abhängt (Coulombwechselwirkung), liegt ein kugelsymmetrisches Problem vor, welches man zweckmäßig in Kugelkoordinaten oder sphärischen Polarkoordinaten löst.
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