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2.1 Aussage
Das Gesetz von Bernoulli sagt aus:
"In einer stationären Strömung ist die Summe aus dem statischen Druck und dem dynamischen Druck konstant. Sie entspricht dem hydrostatischen Druck der ruhenden Flüssigkeit"
Die dazugehörige Formel lautet:
Diese Formel ist von zentraler Bedeutung für die Luftfahrt geworden, da sie, auch aussagt, dass mit steigender Geschwindigkeit der Flüssigkeit oder des Gases dessen Druck abnimmt. Auf diesem Prinzip beruht der Auftrieb mehr dazu im Kapitel 3.4 "Der Auftrieb".
2.2 Herleitung
Um den Satz von Bernoulli jedoch richtig verstehen zu können, sollte man die oben genannte Formel herleiten. Hierzu sollte man wissen, dass Bernoulli sich für diese Formel mit dem Strömungs- und Druckverhalten in Rohrsystemen beschäftigt hat und hier besonders das Strömungsverhalten an Engstellen untersuchte. Er stellte fest, dass sich die Flüssigkeit oder das Gas an Engstellen solange nicht verdichtet, wie es weiterfließen kann. Dies heißt dann, dass über die unterschiedlichen Stecken und in der gleichen Zeit das selbe Volumen ( ) fließen muss.
Daraus folgt die Formel:
da
Dies zeigt, dass mit Zunahme der Größe der Fläche A die Geschwindigkeit v der Flüssigkeit abnehmen muss, oder dass mit Abnahme des Durchmessers des Rohres die Geschwindigkeit v zu-
nehmen muss. ("Durchflußgesetz" ).
Will man in so einem Rohr die Flüssigkeit bewegen, muss man die Arbeit bzw. verrichten. In diesem Fall ist F die Druckkraft daraus folgt:
bzw.
Rechnen wir die Differenz zwischen diesen beiden Arbeiten aus, wird es möglich, mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Druck wieder ins Spiel zu bringen:
und
Bei der kinetischen Energie wurde die Masse m durch ersetzt, da dies für Flüssigkeiten und Gase besser zu verwenden ist.
Wir setzen und wegen des Energieerhaltungssatzes gleich:
Aufgrund dieser Beziehung ist der Satz bewiesen. Die Formel sagt aus, dass die Summe von statischem Druck und dem dynamischen Druck (Staudruck) gleich groß sind.
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