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In der Mathematik gibt es zwei grundlegend verschiedene Methoden, das Bildungsgesetz einer bestimmten Folge darzustellen. Bei der expliziten Beschreibung ist es möglich, ein Folgenglied direkt über die Nummer desselben auszurechnen, so zum Beispiel
an=2n+1 => a4: n = 4 => a4 = 2 * 4 + 1 => a4 = 9
=> a198: n = 198 => a198 = 2 * 198 + 1 => a198 = 397
Bei der rekursiven Darstellung wird das Glied nicht absolut definiert, sondern es wird nur der Zusammenhang mit dem vorigen Glied angegeben, so zum Beispiel
z an = a(n-1) + 2
Um also das dritte Glied dieser Folge zu erhalten, muß zuerst das zweite ausgerechnet werden. Das zweite basiert jedoch auf dem ersten. Die Glieder müssen daher schrittweise berechnet werden. Damit der Vorgang beim ersten Glied endet, muß dieses einen festen Wert besitzen, der ebenfalls bei der Definition angegeben werden muß. Das obige Bildungsgesetz lautet daher richtig:
an = a(n-1) + 2, a1 = 3
Dadurch wird dieselbe Folge wie oben definiert. Die Länge des Rechenwegs zu einem bestimmten Glied ist proportional zur Höhe der Gliednummer, während sie beim expliziten Bildungsgesetz immer gleich ist. Hier sind zum Beispiel die Rechenschritte für das dritte Glied:
explizit: a3=2*3+1
a3=7
rekursiv: a3=a2+2
a2=a1+2
a1=3
a2=3+2
a3=3+2+2
a3=7
Trotz ihrer Länge ist die rekursive Darstellung oft nützlicher, da sie meistens einfacher ist und mit ihr manche Rechenarten gezielt umgangen werden können:
an = x*n => an = a(n-1)+x
an = x^n => an = a(n-1)*x
an = n! => an = a(n-1)*n
Abschließend ist zu bemerken, daß die Bildungsgesetze der meisten Folgen auf beide Arten darstellbar sind. Bei manchen ist dies jedoch nicht möglich.
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