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1. Definitionr /
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Unter partieller Integration versteht man eine Methode, ein vorliegendes Integral auf ein anderes, einfacher zu berechnendes zurückzuführen. Da es dabei darauf ankommt, den Integranden in ein Produkt zweier Faktoren zu zerlegen und dann für den einen Faktor eine Stammfunktion anzugeben, bezeichnet man diese Integrationsmethode als partielle Integration.
Es ist jedoch nur dann sinnvoll diese Methode der Integration anzuwenden, wenn das neue Integral (auch als Restintegral bezeichnet) einfacher ist, als das alte, das sogenannte Ausgangsintegral.
Die Produktintegrationsformel wird aus der Produktregel der Differenzialrechnung hergeleitet, deswegen nennt man die partielle Integration auch die Umkehrung der Produktregel.
2. Herleitung
Produktregel:
f(x) = u(x)·v(x)
f '(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)
beidseitige Integration über das Intervall [a; b]
oder
Ausgangsintegral Restintegral
3. Aufgaben
3.1. Einfach partielle Integration
a) ò xex dx
1. Ansatz: 01ò x ex dx = [x ex]01 - 01ò 1 ex dx
= [x ex]01 - [ex]01 = (e-0) - (e-1) = 1
2. Ansatz: 01ò x ex dx = [1/2 x² x]01 - 01ò 1/2 x² ex dx
Der 2. Ansatz war nicht günstig gewählt, da das Restintegral viel komplizierter als das Ausgangsintegral ist. Anhand Ansatz 1 ist der deutliche Unterschied zu erkennen. D.h., die Wahl von u und v´ ist entscheidend für den weiteren Rechenweg, um die Vereinfachung dieser Methode nutzen zu können.
b) ò lnx dx
ò 1 lnx dx = [x lnx] - ò x 1/x dx = [x lnx] - [x]
= x lnx - x + C
12ò 1 lnx dx = [x lnx]12 - 12ò x 1/x dx = [x lnx]12 - [x]12
= (2 ln2 - ln1) - (2-1) = 2 ln2 - 1
c) ò (lnx)² dx
ò 1 (lnx)² dx = [x(lnx)²] - ò x 2lnx 1/x dx
= [x(lnx)²] - [2(x lnx - x)]
= x(lnx)² - (2x lnx - 2x)
= x(lnx)² - 2x lnx + 2x + C
3.2. Mehrfach partielle Integration
a) ò 2ex(2-x²) dx
ò 2ex(2-x²) dx = [2ex(2-x²)] - ò 2ex(-2x)dx
= [2ex(2-x²)] - ([2ex(-2x)] - ò 2ex(-2)dx)
= [2ex(2-x²)] - ([2ex(-2x)] - [-4ex])
= (4ex-2exx²) - (-4exx+4ex)+ C
= 4ex - 2exx2 + 4exx- 4ex + C
= -2exx2 + 4exx + C
01ò 2ex(2-x²) dx = [2ex(2-x²)]01 - 01ò 2ex(-2x)dx
= [2ex(2-x²)]01 - ([2ex(-2x) ]01 - [-4ex]01)
= ...
= -2e112 + 4e11 = 2e
b) ò x² sin x dx
ò x² sin x dx = [-x² cos x] + ò 2x cos x dx (ò sin x dx = -cos x)
= [-x² cos x] + ([2x sin x] - ò 2 sin x dx)
= [-x² cos x] + [2x sin x] - [2 (-cos x)] + C
= [-x² cos x] + [2x sin x] + [2 cos x] + C
0pò x² sin x dx = [-x² cos x]0p + 0pò 2x cos x dx
= [-x² cos x]0p + [2x sin x]0p + [2 cos x]0p
= [-p² cos p-0] + [2 p sin p-0] + [2 cos p-0]
= -p² cos p + 2 p sin p + 2 cos p
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