Konstruktivismus

Die dritte Schule, die der konstruktiven oder intuitionistischen Mathematik, geht v. a. auf einen Mann zurück: Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) Unser Ausschweifen ins Reich des Unendlichen erklärt sich dadurch, dass hier Brouwer ein Extrem, entgegengesetzt zu Cantor oder Hilbert vertrat. Brouwer und Hilbert waren durchaus verfeindet - "Krieg zwischen Fröschen und Mäusen", lautete Einsteins Urteil. Im oben angeführten Zwiespalt zwischen der Beurteilung des Unendlichen als Entität, oder als Eigenschaft eines Prozesses, vertritt Brouwer klar letztere Position. Eine unendliche Dezimalzahl x ist dann gegeben, wenn man x stets als endliche Dezimalzahl mit beliebig vielen Stellen nach dem Dezimalpunkt erfassen kann. Nie spricht Brouwer aber von allen Ziffern von x nach dem Dezimalpunkt. Man könnte meinen dieser ideologische Streit wäre Spiegelfechterei. Er hat aber enorme Auswirkungen auf so grundlegende Feststellungen wie: jede Zahl ist entweder 0, positiv oder negativ. Brouwer meinte ein Gegenbeispiel gefunden zu haben: wir verwenden  um eine verwandte reelle Zahl ´ (Pi Strich) zu definieren. Man entwickle  bis man eine Folge von 100 aufeinanderfolgenden Nullen findet. Bis dorthin soll ´ ident entwickelt werden. Angenommen man findet 100 aufeinangerfolgende Nullen ab der Stelle n, breche man ´ hier ab. Ist nun Q =  - ´ negativ, null positiv? Die Konstruktivisten argumentieren, dass keine der drei Aussagen wahr ist; erst wenn einer feststellt welcher Fall zutrifft. Folglich ist mathematische Wahrheit zeitabhängig und subjektiv. Oder allgemeiner: Jede Folgerung in Bezug auf eine unendliche Menge ist mangelhaft, wenn sie sich auf den Satz vom ausgeschlossenen Dritten bezieht. Ein anderes Beispiel:

P bezeichnet die Aussage: "In der Dezimalbruchentwicklung von  kommt keine Folge von 100 Nullen vor". P´ bezeichnet das Gegenteil. Ist die Aussage wahr? Die meisten Mathematiker würden aufgrund des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten bejahen. Damit ist der Konstruktivist nicht einverstanden, für ihn ist die Entwicklung von  ein "Fabelwesen".

Der Konstruktivist sieht die klassische Mathematik als ein Durcheinander von Mythos und Realität; ihm ist ohne den Mythos wohler. Brouwer beharrt darauf: Nimmt man das Unendliche als Begriff ernst, muss sich unsere Logik auf das Wesen dieses Begriffs einstellen - auch wenn sich dadurch skurrile Folgen ergeben, was einer radikalen Umgestaltung der Mathematik gleichkäme.
Das Werk und die Ideen Brouwers lösten keineswegs eine Welle der Bekehrung zur konstruktiven Mathematik ein, auch weil die Schulung der jungen Mathematikstudenten möglichst rasch und unproblematisch verlaufen sollte, was mit Brouwers, sich gegen die Alltagslogik auflehnenden Gedanken sicher nicht leicht machbar wäre.