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mathematik artikel (Interpretation und charakterisierung)

Geometrie- abstandsberechnungen





ABSTAND EBENE - EBENE > E: Ax + By + Cz  D = 0 F: Ax + By + Cz  E = 0

 Abstand nur zu berechnen, wenn es sich um zwei parallele Ebenen handelt
 Länge des Normalenvektors bestimmen [ A^2 +B^2 + C^3 ]
 E D, geteilt durch die Länge des Normalenvektors
 Ergebnis = Abstand der beiden parallelen Ebenen









ABSTAND PUNKT - EBENE

(Möglichkeit 1)


 Aus dem Punkt und dem Normalenvektor eine zweite Ebene bilden (diese ist dann parallel zur Ebene E)
 Normalenvektor verknüpft mit x minus Normalenvektor verknüpft mit Punkt



   

n o x  n o p


 Ebenengleichung aufstellen, dann Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden berechnen (sh. oben)
 Ergebnis = Abstand Punkt- Ebene





(Möglichkeit 2)


 Hesse'sche Normalenform aufstellen
 Dazu Länge des Normalenvektors berechnen



  

1 / L ( n ) * [( n ) o x  D] = 0




 Punkt für x einsetzen
 Ergebnis = Abstand Punkt  Ebene













ABSTAND GERADE - EBENE


 Mit dem Antragspunkt der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene eine Ebenengleichung aufstellen

   

n o x  n o p


 Abstand der beiden Ebenen bestimmen
 Ergebnis = Abstand Gerade- Ebene



ABSTAND PUNKT - GERADE


 Der Richtungsvektor der Geraden wird als Normalenvektor betrachtet, um eine Ebenengleichung aufstellen zu können (Also Ebene aus Richtungsvektor und Punkt aufspannen)



   

n o x  n o p


 Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen
 Geradengleichung nach r (bzw. der Variablen) auflösen
 Einsetzen in die Ebenengleichung
 Ergebnis = Schnittpunkt Gerade - Ebene  
 Vektor aus Schnittpunkt und Punkt bilden ( s - p )

 Länge des Vektors berechnen
 Ergebnis = Abstand Punkt - Gerade









ABSTAND GERADE - GERADE ( gilt nur für parallele Geraden! )


 Mit dem Richtungsvektor von Gerade 1 und dem Antragspunkt von Gerade 2 (oder anders herum) eine Ebenengleichung aufstellen (sh. oben)
 Schnittpunkt berechnen (Gerade 1 und Ebene)
 weitere Rechnung sh. Abstand Punkt- Gerade



ABSTAND ZWISCHEN ZWEI WINDSCHIEFEN GERADEN

 Beziehung zwischen den beiden Geraden herstelllen
   

n o u1 = 0 n o u2 =0


 Durch Additionsverfahren n bestimmen (beliebigen Wert für ein n einsetzen, um die anderen beiden bestimmen zu können)
 Ergebnis = Normalenvektor
 Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 1 Ebenengleichung aufstellen
 Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 2 Ebenengleichnug aufstellen
 Abstand der beiden Ebenen berechnen
 Ergebnis = Abstand der beiden windschiefen Geraden





ABSTAND EBENE - URSPRUNG

 D durch die Länge des Normalenvektors teilen
 Ergebnis = Abstand Ebene - Ursprung

 
 



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