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Nikolai Iwanowitsch Lobatschewskij (1777-1856) untersuchte den Fall, daß die Winkel im Saccheri-Viereck spitz sind. Das ist möglich, wenn erlaubt wird, daß es zu einer Geraden L durch einen Punkt P mehrere nicht-schneidende Geraden gibt.
Saccheri zeigte bereits, daß alle Geraden, die einen Winkel größer als mit einer Normalen durch L einschließen, L nicht schneiden. Anders als Saccheri sah Lobatschewskij hier keinen Widerspruch und baute seine Geometrie auf dieser Grundlage auf. Die Größe von ist abhängig von der Entfernung des Punktes P von L. Sollte der Wert für = 90° betragen läßt sich das Parallelenpostulat als Sonderfall folgern. Lobatschewskij bezeichnete die beiden Geraden, die genau den Winkel mit P einschließen als parallel. Alle Geraden, die zwischen den Parallelen liegen, wären laut Euklid ebenfalls parallel zu L, werden aber als überparallel bezeichnet. Es gibt unendlich viele von ihnen.
Eine solche Geometrie läßt sich auf einer Hypersphäre realisieren. Eine Gerade wird hierbei als geodätische Linie dieser Fläche aufgefaßt. Dreiecke haben auf dieser Oberfläche besondere Eigenschaften. Je kleiner die Fläche eines Dreiecks ist, desto näher liegt seine Winkelsumme bei 180°. Ähnliche Dreiecke sind automatisch kongruent.
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